Caro visitante, se você quiser, pode sugerir algum assunto para eu bolar uma nova atividade de ensino de Geometria com apoio do GeoGebra. Fique à vontade.

seno de um ângulo maior do que 90, e menor do que 180

Quando pensamos em um ângulo, imediatamente pensamos no seu suplementar. A relação entre estes dois ângulos é que a soma destes é 180o. Serà que existe alguma outra relação? A animação a seguir mostra o ângulo alfa, com medida maior do que 90o, e seu suplementar, beta, com medida necessariamente menor do que 90o. A projeção do ponto P sobre o círculo indica a seno do ângulo ângulo alfa.

1) Clicar na caixa que exibe um ângulo no primeiro quadrante. Este ângulo tem o mesmo seno que o ângulo alfa? Verifique a projeção do ponto Q sobre o eixo y.
2) Mover o ponto Q até que o ângulo beta linha tenha o mesmo seno que o ângulo alfa. Você percebe alguma relação entre o ângulo beta e o ângulo beta linha?
3) Clicar na caixa que mostra o ângulo beta refletido no primeiro quadrante. Qual é a relação entre o seno deste ângulo refletido e o seno do ângulo alfa?

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Pergunta: Dado um ângulo alfa do segundo quadrante, o seu suplementar, beta, pode ser refletido no primeiro quadrante. Qual é a relação entre o seno destes dois angulos, o alfa e o refletido de beta? A relação se mantém à medida que mudamos o ângulo alfa, movendo o ponto P?

Conclusão: Dado um ângulo alfa com medida entre 90 e 180, acabamos de ver que o valor do seno alfa é o mesmo que seno de 180 - alfa. O leitor pode tentar usar esta experiência para buscar outras relações, com ângulos no terceiro e no quarto quadrante, envolvendo o cosseno também.

Taxa de variação

As coisas estão sempre em mutação. Uma grandeza, num determinado instante, tem valor y1, e, noutro instante, pode ter valor y2. Assim, podemos pensar na variação de valores, y2 - y1. Quando temos uma grandeza em função de outra, digamos y = f(x), uma variação da grandeza x implica numa variação da grandeza y. A pergunta que é interessante nestes casos é: Como podemos comparar a relação de variação entre as duas grandezas? Uma boa maneira de fazer esta comparação é determinando o valor do quociente,

taxa de variação média = (y2 - y1)/(x2 - x1).

A animação a seguir apresenta o gráfico de uma função. Existem dois pontos sobre este gráfico. Estes pontos também são vértices de um triângulo retângulo. O cateto paralelo ao eixo x representa a variação da variável x, x2 - x1. O cateto paralelo ao eixo y representa a variação da variável y, y2 - y1. Assim, nesta representação geométrica, a taxa de variação média é representada pela inclinação do triângulo.

1) Mova o ponto vermelho e veja como a forma do triângulo varia. Isto significa que a taxa de variação muda de acordo com o ponto vermelho. Você consegue perceber quando a taxa de variação média é maior, ou menor, ou negativa? Veja a forma do triângulo.
2) Existe algum período de variação de x onde a taxa de variação média fique constante? O visitante pode mover o ponto vermelho e deve perceber que isto não acontece.
3) A animação permite que se mude o aspecto da curva. Para isto, mova o ponto botão seletor, à direita e no alto da animação. Repita as experiências dos itens 1) e 2) para outras curvas.
4) Mova o botão seletor para a direita, até aparecer o valor 1. O gráfico agora é uma curva? Repita as experiências dos itens 1) e 2) para a reta.

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Pergunta: A forma de um triângulo retângulo com catetos determinados pelas variações das grandezas indica como é a taxa de variação média de uma função. À medida que movemos o ponto vermelho, a forma deste triângulo pode mudar. Quando a forma do triângulo é mantida ao longo da mudança do ponto vermelho?

Conclusão: A função cujo gráfico é uma reta tem uma característica bastante particular. É a única função que apresenta uma taxa de variação média constante.

A relação entre os catetos de um triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, o lado maior se chama hipotenusa e os dois lados menores se chamam cateto. A animação a seguir busca uma relação entre os catetos de um triângulo retângulo. A figura apresenta dois triângulos. O primeiro é um triângulo que só podemos mudar de posição. O segundo triângulo pode ter o tamanho da hipotenusa e um dos ângulos alterados.

1) Movendo o ponto lilás, desloque o triângulo da esquerda e compare os ângulos dos dois triângulos. Desloque o triângulo até os vértices coincidirem. Eles têm a mesma medida? Ou melhor, depois de deslocado, os ângulos coincidem?
2) Retorne o primeiro triângulo para sua posição original. Compare agora os valores abaixo dos dois triângulos. Eles são iguais? Estes valores são o resultado da divisão do cateto oposto ao ângulo pelo cateto adjacente ao ângulo. Bom, como os dois triângulos são bastante diferentes, é de se esperar que estes valores sejam diferentes, não?
3) Vamos mudar a forma do segundo triângulo. Mova os pontos que permitem a variação da hipotenusa e do ângulo marrom. Você consegue obter uma forma para o segundo triângulo de modo que os dois quocientes fiquem iguais? Quando conseguir esta forma, desloque o triângulo da esquerda e compare os dois ângulos. Os ângulos agora coincidem?

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Pergunta: Podemos perceber que o quociente entre os catetos do primeiro retângulo retângulo é igual ao quociente entre os respectivos catetos do segundo triângulo retângulo quando os dois triângulos têm os respectivos ângulos com a mesma medida. Esta propriedade é mantida quando mudamos o tamanho da hipotenusa?

Conclusão: Num triângulo retângulo, a relação entre seus catetos depende só da forma do triângulo. Ou seja, depende só do conhecimento dos seus ângulos. Esta propriedade é a base da trigonometria e é muito rica de aplicações. Por exemplo, existem inúmeras aplicações em cálculo de distâncias longas. O visitante curioso deve facilmanete encontrar exemplos deste tipo de aplicação.

Diagonais do retângulo

Um paralelogramo é um polígono de 4 lados com a condição de que lados opostos são congruentes e paralelos. Quando o paralelogramo tem ângulos internos retos, o polígono é um retângulo. A animação a seguir ilustra um paralelogramo. Movendo os pontos em azul, você pode obter representações de paralelogramos de formas variadas. Se quiser obter um retângulo, clique na caixa que mostra uma representação da reta perpendicular a um dos lados do paralelogramo e coloque o ponto P sobre a reta.

O interesse desta animação não é exatamente discutir paralelogramos, mas, sim, as diagonais de um paralelogramo. Para visualizar as diagonais no desenho, cique na respectiva caixa.

1) Desabilite a caixa da reta perpendicular e habilite a caixa das diagonais. Você consegue identificar as duas diagonais? Uma é um segmento azul e outra é um segmento verde. Agora vem a pergunta de interesse desta animação. Qual diagonal é maior, a azul ou a verde? Ou elas são do mesmo tamanho?

2) Para tirar a dúvida, clique na caixa que mostra um círculo com centro na interseção das diagonais e com diâmetro igual ao segmento azul. E agora, você já sabe decidir qual segmento é maior?

3) Mova os pontos do paralelogramo para mudar a sua forma e veja como fica a relação entre as diagonais nestas mudanças. Em algum momento as diagonais ficam do mesmo tamanho?

4) Habilite a caixa da reta perpendicular e coloque o ponto P sobre a reta. O que acontece com as diagonais? Qual é maior? Ou elas ficam do mesmo tamanho? Mude o ponto P de posição, mas mantendo o sobre a reta. O que acontece com as diagonais?

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Pergunta: Quando o ponto P está sobre a reta, que figura de quatro lados é representada no desenho? Neste caso, que propriedade sobre as diagonais percebemos? Esta propriedade é mantida à medida que o ponto P se move sobre a reta?

Conclusão: Um retângulo é um caso particular de paralelogramo com uma propriedade especial para suas diagonais. Elas têm o mesmo tamanho. Contudo, esta relação é mais interessante, pois vale a recíproca, se um paralelogramo tem as diagonais com o mesmo tamanho então este paralelogramo tem que ser um retângulo. Mais interessante ainda é encontrar um argumento formal que justifique estes fatos.

Teorema de Pitágoras para triângulo retângulo

Os triângulos retângulos são triângulos com propriedades bastante especiais. A próxima animação foi desenvolvida a fim de promover o reconhecimento de uma relação útil para a dedução do teorema de Pitágoras para triângulos retângulos. A figura na animação representa um triângulo, não necessariamente retângulo, de vértices A, B e C, e mais três triângulos obtidos a partir do triângulo ABC, os triângulos I, II e III.

1) Qual a relação entre os triângulos I, II e III? Primeiro, clique na caixa de reflexão do triângulo I. Veja o triângulo I refletido dentro do triângulo ABC. Desabilite a caixa de reflexão do triângulo I. Agora, repita o processo com o triângulo II. Depois, repita o processo com o triângulo III. Certifique-se de que a caixa de reflexão do polígono III esteja desabilitada. Por útlimo habilite as caixas dos triângulo I e II ao mesmo tempo. Você consegue perceber que a área do triângulo III é igual a área dos triângulos I e II, juntos?

2) O fato de que a área do triângulo III é igual a área do triângulo I somada com a área do triângulo II permanece quando movemos o ponto C? Experimente mudar o ponto C de posição e verifique se a relação observada no item 1) continua mantida.

3) Existe mais alguma relação entre os triângulos I, II e III? Existe alguma relação entre as formas dos triângulos I, II e III? Certifique-se de que o ponto C esteja fora da reta do desenho. Você acha que os triângulos têm a mesma forma? Se está na dúvida, clique na caixa que mostra os ângulos. Verifique se existe alguma correspodência entre os ângulos dos triângulos I, II e III, se eles apresentam medidas iguais.

4) Agora, repita as orientações do item 3), só que com o ponto C sobre a reta do desenho. Note que esta reta é perpendicular ao segmento AB. Assim, quando o ponto C está sobre a reta, o triângulo ABC é retângulo. E agora, os triângulos I, II e III têm a mesma forma? Confira que agora existe uma correspondência entre ângulos com mesma medida.

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Pergunta: Um triângulo ABC pode ser decomposto em dois triângulos menores. Quando ABC é um triângulo retângulo, existe uma relação entre estes três triângulos. Que relação é esta? Esta relação se mantêm quando movemos o ponto C sobre a reta da figura?

Conclusão: Na figura da animação eletrônica, podemos perceber que um triângulo pode ser decomposto em dois triângulos menores. Esta decomposição se torna especial justamente no caso que o triângulo dado é retângulo. Neste caso, a decomposição é dada por dois triângulo com a mesma forma que o triângulo maior, isto é, a decomposição é dada por dois triângulos semelhantes ao triângulo original. Para quem quiser conhecer a demonstração do teorema de Pitágoras, o primeiro passo é perceber esta propriedade. O visitante curioso deve procurar por alguma prova deste famoso teorema para ver como a relação destacada aqui pode ser útil para esta prova.

A interseção das medianas de um triângulo

Quando traçamos duas medianas de um triângulo, encontramos um ponto dado pela interseção destas duas medianas. Este fato não deve causar nenhuma estranheza, pois, quando temos duas retas concorrentes, a interseção é um ponto. Contudo, quando traçamos a terceira mediana, encontramos um fato notável, que não é de se esperar. Veja a animação a seguir e tente perceber este fato notável.

1) Faça a animação exibir as três medianas. Quando a mediana que passa por C for exibida, mova o ponto P.
2) Aí, o segmento PC deixa de ser uma mediana. O que acontece com a interseção dos três segmentos? Ainda é um ponto? Quando PC deixa de ser uma mediana, a configuração encontrada na animação é a que normalmente poderíamos esperar?
3) Faça o ponto P voltar a coincidir com o ponto médio.

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Pergunta: Que propriedade podemos perceber a respeito das três medianas do triângulo ABC? Quando movemos os pontos A, B e C, a propriedade é mantida?

Conclusão: Nesta atividade de exploração, o visitante deve ter aprendido que as três medianas de um triângulo qualquer se encontram num mesmo ponto. Este ponto é chamado de baricentro. O baricentro é um ponto especial do triângulo, ele determina o centro de gravidade do triângulo. Ou seja, se quisermos equilibrar um triângulo pendurado por uma linha, por exemplo, basta passar com a linha através do baricentro.

Descrição do Projeto de Criação

Este blog foi criado para a realização de um projeto de pesquisa em grupo com alunos do Curso de Especialização, Novas Tecnologias no ensino da Matemática (NTEM), oferecido pela Universidade Federal Fluminense (UFF).

O grupo é formado por alunos do curso inscritos no pólo de Nova Iguaçu. Os alunos são Célio Alves Siqueira, Anderson Santos de Mattos, Joelma da Silva Barbosa, Camila Regina dos Santos Silva, Catia Regina Wilhiem. O orientador do projeto é o Professor Ion Moutinho Gonçalves, professor da UFF e coordenador da disciplina Tópicos em Álgebra, do curso NTEM.


Neste projeto, o blog tem como função hospedar applets desenvolvidos pelos membros do projeto. Os applets devem promover o aprendizado de propriedades geométricas.