Diagonais do retângulo

Um paralelogramo é um polígono de 4 lados com a condição de que lados opostos são congruentes e paralelos. Quando o paralelogramo tem ângulos internos retos, o polígono é um retângulo. A animação a seguir ilustra um paralelogramo. Movendo os pontos em azul, você pode obter representações de paralelogramos de formas variadas. Se quiser obter um retângulo, clique na caixa que mostra uma representação da reta perpendicular a um dos lados do paralelogramo e coloque o ponto P sobre a reta.

O interesse desta animação não é exatamente discutir paralelogramos, mas, sim, as diagonais de um paralelogramo. Para visualizar as diagonais no desenho, cique na respectiva caixa.

1) Desabilite a caixa da reta perpendicular e habilite a caixa das diagonais. Você consegue identificar as duas diagonais? Uma é um segmento azul e outra é um segmento verde. Agora vem a pergunta de interesse desta animação. Qual diagonal é maior, a azul ou a verde? Ou elas são do mesmo tamanho?

2) Para tirar a dúvida, clique na caixa que mostra um círculo com centro na interseção das diagonais e com diâmetro igual ao segmento azul. E agora, você já sabe decidir qual segmento é maior?

3) Mova os pontos do paralelogramo para mudar a sua forma e veja como fica a relação entre as diagonais nestas mudanças. Em algum momento as diagonais ficam do mesmo tamanho?

4) Habilite a caixa da reta perpendicular e coloque o ponto P sobre a reta. O que acontece com as diagonais? Qual é maior? Ou elas ficam do mesmo tamanho? Mude o ponto P de posição, mas mantendo o sobre a reta. O que acontece com as diagonais?

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Pergunta: Quando o ponto P está sobre a reta, que figura de quatro lados é representada no desenho? Neste caso, que propriedade sobre as diagonais percebemos? Esta propriedade é mantida à medida que o ponto P se move sobre a reta?

Conclusão: Um retângulo é um caso particular de paralelogramo com uma propriedade especial para suas diagonais. Elas têm o mesmo tamanho. Contudo, esta relação é mais interessante, pois vale a recíproca, se um paralelogramo tem as diagonais com o mesmo tamanho então este paralelogramo tem que ser um retângulo. Mais interessante ainda é encontrar um argumento formal que justifique estes fatos.