sábado, 2 de junho de 2012

A relação entre os catetos de um triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, o lado maior se chama hipotenusa e os dois lados menores se chamam cateto. A animação a seguir busca uma relação entre os catetos de um triângulo retângulo. A figura apresenta dois triângulos. O primeiro é um triângulo que só podemos mudar de posição. O segundo triângulo pode ter o tamanho da hipotenusa e um dos ângulos alterados.

1) Movendo o ponto lilás, desloque o triângulo da esquerda e compare os ângulos dos dois triângulos. Desloque o triângulo até os vértices coincidirem. Eles têm a mesma medida? Ou melhor, depois de deslocado, os ângulos coincidem?
2) Retorne o primeiro triângulo para sua posição original. Compare agora os valores abaixo dos dois triângulos. Eles são iguais? Estes valores são o resultado da divisão do cateto oposto ao ângulo pelo cateto adjacente ao ângulo. Bom, como os dois triângulos são bastante diferentes, é de se esperar que estes valores sejam diferentes, não?
3) Vamos mudar a forma do segundo triângulo. Mova os pontos que permitem a variação da hipotenusa e do ângulo marrom. Você consegue obter uma forma para o segundo triângulo de modo que os dois quocientes fiquem iguais? Quando conseguir esta forma, desloque o triângulo da esquerda e compare os dois ângulos. Os ângulos agora coincidem?
GeoGebra Planilha dinâmica
This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com
Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

Pergunta: Podemos perceber que o quociente entre os catetos do primeiro retângulo retângulo é igual ao quociente entre os respectivos catetos do segundo triângulo retângulo quando os dois triângulos têm os respectivos ângulos com a mesma medida. Esta propriedade é mantida quando mudamos o tamanho da hipotenusa?

Conclusão: Num triângulo retângulo, a relação entre seus catetos depende só da forma do triângulo. Ou seja, depende só do conhecimento dos seus ângulos. Esta propriedade é a base da trigonometria e é muito rica de aplicações. Por exemplo, existem inúmeras aplicações em cálculo de distâncias longas. O visitante curioso deve facilmanete encontrar exemplos deste tipo de aplicação.

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