Diagonais do retângulo

Um paralelogramo é um polígono de 4 lados com a condição de que lados opostos são congruentes e paralelos. Quando o paralelogramo tem ângulos internos retos, o polígono é um retângulo. A animação a seguir ilustra um paralelogramo. Movendo os pontos em azul, você pode obter representações de paralelogramos de formas variadas. Se quiser obter um retângulo, clique na caixa que mostra uma representação da reta perpendicular a um dos lados do paralelogramo e coloque o ponto P sobre a reta.

O interesse desta animação não é exatamente discutir paralelogramos, mas, sim, as diagonais de um paralelogramo. Para visualizar as diagonais no desenho, cique na respectiva caixa.

1) Desabilite a caixa da reta perpendicular e habilite a caixa das diagonais. Você consegue identificar as duas diagonais? Uma é um segmento azul e outra é um segmento verde. Agora vem a pergunta de interesse desta animação. Qual diagonal é maior, a azul ou a verde? Ou elas são do mesmo tamanho?

2) Para tirar a dúvida, clique na caixa que mostra um círculo com centro na interseção das diagonais e com diâmetro igual ao segmento azul. E agora, você já sabe decidir qual segmento é maior?

3) Mova os pontos do paralelogramo para mudar a sua forma e veja como fica a relação entre as diagonais nestas mudanças. Em algum momento as diagonais ficam do mesmo tamanho?

4) Habilite a caixa da reta perpendicular e coloque o ponto P sobre a reta. O que acontece com as diagonais? Qual é maior? Ou elas ficam do mesmo tamanho? Mude o ponto P de posição, mas mantendo o sobre a reta. O que acontece com as diagonais?

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Pergunta: Quando o ponto P está sobre a reta, que figura de quatro lados é representada no desenho? Neste caso, que propriedade sobre as diagonais percebemos? Esta propriedade é mantida à medida que o ponto P se move sobre a reta?

Conclusão: Um retângulo é um caso particular de paralelogramo com uma propriedade especial para suas diagonais. Elas têm o mesmo tamanho. Contudo, esta relação é mais interessante, pois vale a recíproca, se um paralelogramo tem as diagonais com o mesmo tamanho então este paralelogramo tem que ser um retângulo. Mais interessante ainda é encontrar um argumento formal que justifique estes fatos.

Teorema de Pitágoras para triângulo retângulo

Os triângulos retângulos são triângulos com propriedades bastante especiais. A próxima animação foi desenvolvida a fim de promover o reconhecimento de uma relação útil para a dedução do teorema de Pitágoras para triângulos retângulos. A figura na animação representa um triângulo, não necessariamente retângulo, de vértices A, B e C, e mais três triângulos obtidos a partir do triângulo ABC, os triângulos I, II e III.

1) Qual a relação entre os triângulos I, II e III? Primeiro, clique na caixa de reflexão do triângulo I. Veja o triângulo I refletido dentro do triângulo ABC. Desabilite a caixa de reflexão do triângulo I. Agora, repita o processo com o triângulo II. Depois, repita o processo com o triângulo III. Certifique-se de que a caixa de reflexão do polígono III esteja desabilitada. Por útlimo habilite as caixas dos triângulo I e II ao mesmo tempo. Você consegue perceber que a área do triângulo III é igual a área dos triângulos I e II, juntos?

2) O fato de que a área do triângulo III é igual a área do triângulo I somada com a área do triângulo II permanece quando movemos o ponto C? Experimente mudar o ponto C de posição e verifique se a relação observada no item 1) continua mantida.

3) Existe mais alguma relação entre os triângulos I, II e III? Existe alguma relação entre as formas dos triângulos I, II e III? Certifique-se de que o ponto C esteja fora da reta do desenho. Você acha que os triângulos têm a mesma forma? Se está na dúvida, clique na caixa que mostra os ângulos. Verifique se existe alguma correspodência entre os ângulos dos triângulos I, II e III, se eles apresentam medidas iguais.

4) Agora, repita as orientações do item 3), só que com o ponto C sobre a reta do desenho. Note que esta reta é perpendicular ao segmento AB. Assim, quando o ponto C está sobre a reta, o triângulo ABC é retângulo. E agora, os triângulos I, II e III têm a mesma forma? Confira que agora existe uma correspondência entre ângulos com mesma medida.

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Pergunta: Um triângulo ABC pode ser decomposto em dois triângulos menores. Quando ABC é um triângulo retângulo, existe uma relação entre estes três triângulos. Que relação é esta? Esta relação se mantêm quando movemos o ponto C sobre a reta da figura?

Conclusão: Na figura da animação eletrônica, podemos perceber que um triângulo pode ser decomposto em dois triângulos menores. Esta decomposição se torna especial justamente no caso que o triângulo dado é retângulo. Neste caso, a decomposição é dada por dois triângulo com a mesma forma que o triângulo maior, isto é, a decomposição é dada por dois triângulos semelhantes ao triângulo original. Para quem quiser conhecer a demonstração do teorema de Pitágoras, o primeiro passo é perceber esta propriedade. O visitante curioso deve procurar por alguma prova deste famoso teorema para ver como a relação destacada aqui pode ser útil para esta prova.

A interseção das medianas de um triângulo

Quando traçamos duas medianas de um triângulo, encontramos um ponto dado pela interseção destas duas medianas. Este fato não deve causar nenhuma estranheza, pois, quando temos duas retas concorrentes, a interseção é um ponto. Contudo, quando traçamos a terceira mediana, encontramos um fato notável, que não é de se esperar. Veja a animação a seguir e tente perceber este fato notável.

1) Faça a animação exibir as três medianas. Quando a mediana que passa por C for exibida, mova o ponto P.
2) Aí, o segmento PC deixa de ser uma mediana. O que acontece com a interseção dos três segmentos? Ainda é um ponto? Quando PC deixa de ser uma mediana, a configuração encontrada na animação é a que normalmente poderíamos esperar?
3) Faça o ponto P voltar a coincidir com o ponto médio.

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Pergunta: Que propriedade podemos perceber a respeito das três medianas do triângulo ABC? Quando movemos os pontos A, B e C, a propriedade é mantida?

Conclusão: Nesta atividade de exploração, o visitante deve ter aprendido que as três medianas de um triângulo qualquer se encontram num mesmo ponto. Este ponto é chamado de baricentro. O baricentro é um ponto especial do triângulo, ele determina o centro de gravidade do triângulo. Ou seja, se quisermos equilibrar um triângulo pendurado por uma linha, por exemplo, basta passar com a linha através do baricentro.

Descrição do Projeto de Criação

Este blog foi criado para a realização de um projeto de pesquisa em grupo com alunos do Curso de Especialização, Novas Tecnologias no ensino da Matemática (NTEM), oferecido pela Universidade Federal Fluminense (UFF).

O grupo é formado por alunos do curso inscritos no pólo de Nova Iguaçu. Os alunos são Célio Alves Siqueira, Anderson Santos de Mattos, Joelma da Silva Barbosa, Camila Regina dos Santos Silva, Catia Regina Wilhiem. O orientador do projeto é o Professor Ion Moutinho Gonçalves, professor da UFF e coordenador da disciplina Tópicos em Álgebra, do curso NTEM.


Neste projeto, o blog tem como função hospedar applets desenvolvidos pelos membros do projeto. Os applets devem promover o aprendizado de propriedades geométricas.