seno de um ângulo maior do que 90, e menor do que 180

Quando pensamos em um ângulo, imediatamente pensamos no seu suplementar. A relação entre estes dois ângulos é que a soma destes é 180o. Serà que existe alguma outra relação? A animação a seguir mostra o ângulo alfa, com medida maior do que 90o, e seu suplementar, beta, com medida necessariamente menor do que 90o. A projeção do ponto P sobre o círculo indica a seno do ângulo ângulo alfa.

1) Clicar na caixa que exibe um ângulo no primeiro quadrante. Este ângulo tem o mesmo seno que o ângulo alfa? Verifique a projeção do ponto Q sobre o eixo y.
2) Mover o ponto Q até que o ângulo beta linha tenha o mesmo seno que o ângulo alfa. Você percebe alguma relação entre o ângulo beta e o ângulo beta linha?
3) Clicar na caixa que mostra o ângulo beta refletido no primeiro quadrante. Qual é a relação entre o seno deste ângulo refletido e o seno do ângulo alfa?

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Pergunta: Dado um ângulo alfa do segundo quadrante, o seu suplementar, beta, pode ser refletido no primeiro quadrante. Qual é a relação entre o seno destes dois angulos, o alfa e o refletido de beta? A relação se mantém à medida que mudamos o ângulo alfa, movendo o ponto P?

Conclusão: Dado um ângulo alfa com medida entre 90 e 180, acabamos de ver que o valor do seno alfa é o mesmo que seno de 180 - alfa. O leitor pode tentar usar esta experiência para buscar outras relações, com ângulos no terceiro e no quarto quadrante, envolvendo o cosseno também.

Taxa de variação

As coisas estão sempre em mutação. Uma grandeza, num determinado instante, tem valor y1, e, noutro instante, pode ter valor y2. Assim, podemos pensar na variação de valores, y2 - y1. Quando temos uma grandeza em função de outra, digamos y = f(x), uma variação da grandeza x implica numa variação da grandeza y. A pergunta que é interessante nestes casos é: Como podemos comparar a relação de variação entre as duas grandezas? Uma boa maneira de fazer esta comparação é determinando o valor do quociente,

taxa de variação média = (y2 - y1)/(x2 - x1).

A animação a seguir apresenta o gráfico de uma função. Existem dois pontos sobre este gráfico. Estes pontos também são vértices de um triângulo retângulo. O cateto paralelo ao eixo x representa a variação da variável x, x2 - x1. O cateto paralelo ao eixo y representa a variação da variável y, y2 - y1. Assim, nesta representação geométrica, a taxa de variação média é representada pela inclinação do triângulo.

1) Mova o ponto vermelho e veja como a forma do triângulo varia. Isto significa que a taxa de variação muda de acordo com o ponto vermelho. Você consegue perceber quando a taxa de variação média é maior, ou menor, ou negativa? Veja a forma do triângulo.
2) Existe algum período de variação de x onde a taxa de variação média fique constante? O visitante pode mover o ponto vermelho e deve perceber que isto não acontece.
3) A animação permite que se mude o aspecto da curva. Para isto, mova o ponto botão seletor, à direita e no alto da animação. Repita as experiências dos itens 1) e 2) para outras curvas.
4) Mova o botão seletor para a direita, até aparecer o valor 1. O gráfico agora é uma curva? Repita as experiências dos itens 1) e 2) para a reta.

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Pergunta: A forma de um triângulo retângulo com catetos determinados pelas variações das grandezas indica como é a taxa de variação média de uma função. À medida que movemos o ponto vermelho, a forma deste triângulo pode mudar. Quando a forma do triângulo é mantida ao longo da mudança do ponto vermelho?

Conclusão: A função cujo gráfico é uma reta tem uma característica bastante particular. É a única função que apresenta uma taxa de variação média constante.

A relação entre os catetos de um triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, o lado maior se chama hipotenusa e os dois lados menores se chamam cateto. A animação a seguir busca uma relação entre os catetos de um triângulo retângulo. A figura apresenta dois triângulos. O primeiro é um triângulo que só podemos mudar de posição. O segundo triângulo pode ter o tamanho da hipotenusa e um dos ângulos alterados.

1) Movendo o ponto lilás, desloque o triângulo da esquerda e compare os ângulos dos dois triângulos. Desloque o triângulo até os vértices coincidirem. Eles têm a mesma medida? Ou melhor, depois de deslocado, os ângulos coincidem?
2) Retorne o primeiro triângulo para sua posição original. Compare agora os valores abaixo dos dois triângulos. Eles são iguais? Estes valores são o resultado da divisão do cateto oposto ao ângulo pelo cateto adjacente ao ângulo. Bom, como os dois triângulos são bastante diferentes, é de se esperar que estes valores sejam diferentes, não?
3) Vamos mudar a forma do segundo triângulo. Mova os pontos que permitem a variação da hipotenusa e do ângulo marrom. Você consegue obter uma forma para o segundo triângulo de modo que os dois quocientes fiquem iguais? Quando conseguir esta forma, desloque o triângulo da esquerda e compare os dois ângulos. Os ângulos agora coincidem?

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Pergunta: Podemos perceber que o quociente entre os catetos do primeiro retângulo retângulo é igual ao quociente entre os respectivos catetos do segundo triângulo retângulo quando os dois triângulos têm os respectivos ângulos com a mesma medida. Esta propriedade é mantida quando mudamos o tamanho da hipotenusa?

Conclusão: Num triângulo retângulo, a relação entre seus catetos depende só da forma do triângulo. Ou seja, depende só do conhecimento dos seus ângulos. Esta propriedade é a base da trigonometria e é muito rica de aplicações. Por exemplo, existem inúmeras aplicações em cálculo de distâncias longas. O visitante curioso deve facilmanete encontrar exemplos deste tipo de aplicação.